所用定义或定理

• 依概率收敛的定义是：对每个 $\varepsilon>0$，$\mathbb P(|X_n-X|>\varepsilon)\to0$。
• 几乎必然收敛要求存在零测集 $N$，使得对每个 $u\notin N$，$X_n(u)\to X(u)$。
• 依概率收敛推出依分布收敛；也可以直接用有界连续函数的测试准则验证依分布收敛。这里的蕴含关系属于 Tao §1.1.5 的内容，见 [Tao, §1.1.5，印刷页 31–35，PDF 页 42–46]。

关键推导

当 $0<\varepsilon<1$ 时，$X_n$ 只取 0 和 1，所以
$$ \{|X_n-X|>\varepsilon\}=\{X_n=1\}=(0,1/n]. $$
因而
$$ \mathbb P(|X_n-X|>\varepsilon)=\lambda((0,1/n])=1/n\longrightarrow0. $$
当 $\varepsilon\ge1$ 时，该事件为空，概率恒为 0。由定义，X_nℙX。

对点态行为，固定 $u>0$。取 $N>1/u$，则当 $n\ge N$ 时 $1/nX_na.s.X。

依概率收敛已经给出依分布收敛。直接检验时，任取有界连续函数 $\varphi:\mathbb R\to\mathbb R$，有
$$ \mathbb E[\varphi(X_n)] =\left(1-\frac1n\right)\varphi(0)+\frac1n\varphi(1) \longrightarrow\varphi(0)=\mathbb E[\varphi(X)]. $$
这也说明 $\mathcal L(X_n)$ 弱收敛到 $\delta_0$。

假设用途

Lebesgue 测度给出区间 $(0,1/n]$ 的概率 $1/n$，这是依概率估计的唯一数值输入。点态收敛只使用区间长度趋于 0；没有使用独立性。测试函数有界且连续，是上述依分布检验所需的条件。

常见错误

把 $\mathbb P(X_n=1)=1/n$ 直接称为“几乎必然收敛”，却没有检查样本点上的尾部行为；概率趋于 0 与逐点最终为 0 是不同层次的陈述。另一个错误是把依分布收敛写成 $X_n(\omega)\to X(\omega)$，后者是点态或几乎必然收敛的语言。

所用定义或定理

• 依分布收敛只比较分布（律），不要求 $X_n$ 与 $X$ 在同一空间上逐点接近。
• 依概率收敛要求对每个正的 $\varepsilon$，事件概率 $\mathbb P(|X_n-X|>\varepsilon)$ 趋于 0。
• 几乎必然收敛要求除去一个零测集后逐点收敛。
• 收敛关系 $\mathrm{a.s.}\Rightarrow\mathbb P\Rightarrow\mathrm d$ 在 Tao §1.1.5 中讨论，页码为 [Tao, §1.1.5，印刷页 31–35，PDF 页 42–46]。

关键推导

因为 $Z$ 与 $-Z$ 具有相同的 Rademacher 分布，所以对每个 $n$，$X_n$ 的分布都等于 $X$ 的分布。于是分布函数序列恒定，立即得到
$$ X_n \rightarrow X\ \text{(d)}. $$

再取 $\varepsilon=1$。当 $n$ 为偶数时，$X_n=X$，故 $\mathbb P(|X_n-X|>1)=0$；当 $n$ 为奇数时，$X_n=-Z$，所以 $|X_n-X|=2$，故
$$ \mathbb P(|X_n-X|>1)=1. $$
这个概率序列在 0 和 1 之间交替，不能趋于 0。因此 $X_n$ 不依概率收敛到 $X$。

对任意样本点，$Z$ 只能取 $1$ 或 $-1$。偶数子列的值恒为 $Z$，奇数子列的值恒为 $-Z$；两条子列相差 2，所以点态极限不存在。由此也不可能几乎必然收敛。

该例表明依分布收敛不能反向推出依概率收敛，更不能反向推出几乎必然收敛。它不否定 $\mathrm{a.s.}\Rightarrow\mathbb P\Rightarrow\mathrm d$ 的正向蕴含。

假设用途

Rademacher 对称性确保每个 $X_n$ 的边缘分布相同，这是依分布收敛成立的原因。将所有变量放在同一概率空间上，才有意义地计算 $|X_n-X|$ 并检验依概率或几乎必然收敛；变量之间无需独立。

常见错误

看到 $X_n$ 与 $X$ 的分布相同，就把它误判为依概率收敛。分布相同只说明单个变量的统计律相同，不控制它们在同一实现中的耦合关系。另一个错误是把“分布函数恒定”当成“样本路径恒定”。

所用定义或定理

• Fatou 引理：若 $u_n\ge0$ 可测，则
  $$ \int\liminf_{n\to\infty}u_n\,d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int u_n\,d\mu. $$

• MCT：若 $u_n\uparrow u$ 且 $u_n\ge0$，则 $\int u_n\to\int u$，允许积分取 $+\infty$。

• DCT：若 $u_n\to u$ 几乎处处且存在 $G\in L^1$ 使 $|u_n|\le G$，则 $u\in L^1$ 且 $\int u_n\to\int u$。这三条定理的系统证明在本课标为导师补全。

关键推导

1. 对任意固定 $x>0$，当 $n>1/x$ 时 $x\notin(0,1/n)$，所以 $f_n(x)=0$；在 $x=0$ 处指标函数也为 0。故 $f_n\to0$ 处处。每个 $n$ 的积分为
   $$ \int_0^1 f_n(x)\,dx=n\,\lambda((0,1/n))=1. $$
   Fatou 给出 $\int_0^1 0\,dx=0\le\liminf_n\int_0^1f_n\,dx=1$，这是正确的不等式，但它没有推出 $\int f_n\to0$。这里确实不存在同时支配所有 $f_n$ 的可积函数：当 $0

2. 区间 $[0,1-1/n]$ 随 $n$ 增大而递增，因此 $g_n\uparrow g$，其中 $g=\mathbf1_{[0,1)}$（端点 1 的取值不影响积分）。MCT 给出
   $$ \int_0^1g_n(x)\,dx=1-1/n\longrightarrow1=\int_0^1g(x)\,dx. $$

3. 当 $0\le x<1$ 时 $x^n\to0$，在 $x=1$ 时极限为 1；因此极限函数只在单点 $\{1\}$ 上非零，积分为 0。并且 $0\le h_n\le1$，而常数函数 1 在 $[0,1]$ 上可积，所以 DCT 适用。直接计算也得到
   $$ \int_0^1h_n(x)\,dx=\frac1{n+1}\longrightarrow0. $$

假设用途

Fatou 只需要非负性，不需要单调性或统一支配。MCT 的关键是假设 $g_n$ 逐点单调递增；DCT 的关键是几乎处处收敛和同一个可积支配函数。第 1 项虽有点态收敛，却缺少 DCT 的支配条件；第 2 项不需要额外支配函数；第 3 项的有限测度区间使常数 1 可积。

常见错误

将点态收敛直接换成积分收敛，因而把第 1 项的积分误写成 0。另一个错误是把“$g_n$ 的指标集递增”漏写成 MCT 的单调性条件，或把第 3 项在 $x=1$ 的点值当成正的积分贡献。

所用定义或定理

几乎必然收敛意味着 $X_n(\omega)\to X(\omega)$ 的失败集合是零测集。概率测度在递减事件列上具有从上连续性：若 $C_N\downarrow C$，且 $\mathbb P(C_1)<\infty$，则 $\mathbb P(C_N)\downarrow\mathbb P(C)$。概率空间满足有限性条件 $\mathbb P(\Omega)=1$。

关键推导

固定 $\varepsilon>0$，令
$$ A_n^\varepsilon=\{|X_n-X|>\varepsilon\}, \qquad C_N^\varepsilon=\bigcup_{n\ge N}A_n^\varepsilon. $$
事件 $C_N^\varepsilon$ 随 $N$ 增大而递减，并且
$$ \bigcap_{N=1}^{\infty}C_N^\varepsilon =\limsup_{n\to\infty}A_n^\varepsilon $$
表示“$|X_n-X|>\varepsilon$ 发生无穷多次”。几乎必然收敛保证对几乎每个 $\omega$，最终有 $|X_n(\omega)-X(\omega)|\le\varepsilon$，所以该 limsup 事件是零测集。由概率从上连续性，
$$ \mathbb P(C_N^\varepsilon)\downarrow0. $$
又因为 $A_N^\varepsilon\subseteq C_N^\varepsilon$，所以
$$ 0\le\mathbb P(|X_N-X|>\varepsilon) =\mathbb P(A_N^\varepsilon) \le\mathbb P(C_N^\varepsilon)\longrightarrow0. $$
$\varepsilon$ 是任意正数，故按依概率收敛的定义，X_nℙX。

假设用途

可测性保证 $A_n^\varepsilon$ 和 $C_N^\varepsilon$ 是事件；几乎必然收敛把 limsup 事件压到零测集；概率空间的总质量有限，允许使用递减事件列的概率连续性。证明没有使用独立性、矩条件或可积性。

常见错误

直接从“每个样本点最终收敛”写出 $\mathbb P(A_n^\varepsilon)\to0$，却没有说明如何交换点态信息与概率。另一个错误是把 $\bigcup_{n\ge N}A_n^\varepsilon$ 写成递增列；随着 $N$ 增大它是递减的，使用的是从上连续性。

所用定义或定理

使用可测函数的可数下确界仍可测、积分的单调性，以及单调收敛定理（MCT）。MCT 的精确形式是：若 $0\le g_n\uparrow g$，则 $\int g_n\,d\mu\to\int g\,d\mu$，两端都可取 $+\infty$。MCT 在本题中作为导师补全的基础定理使用。

关键推导

定义
$$ g_n(s)=\inf_{k\ge n}f_k(s). $$
这是可数个可测函数的下确界，因而可测；并且 $g_n\le g_{n+1}$，所以 $(g_n)$ 非负且单调递增。按下极限的定义，逐点有
$$ \lim_{n\to\infty}g_n(s)=\sup_n\inf_{k\ge n}f_k(s)=\liminf_{n\to\infty}f_n(s). $$
由 MCT，
$$ \int_S\liminf_{n\to\infty}f_n\,d\mu =\lim_{n\to\infty}\int_Sg_n\,d\mu. $$
对每个固定的 $n$ 和所有 $k\ge n$，有 $g_n\le f_k$，积分单调性于是给出
$$ \int_Sg_n\,d\mu \le\inf_{k\ge n}\int_Sf_k\,d\mu. $$
令 $n\to\infty$，右侧正是积分序列的下极限，故
$$ \int_S\liminf_{n\to\infty}f_n\,d\mu \le\lim_{n\to\infty}\inf_{k\ge n}\int_Sf_k\,d\mu =\liminf_{n\to\infty}\int_Sf_n\,d\mu. $$
所有量均在 $[0,+\infty]$ 中，因而不需要先假设任何一个 $f_n$ 可积。

假设用途

非负性避免正负部分相减时出现未定义的 $+\infty-\infty$；可测性保证 $g_n$ 和下极限可测；MCT 把递增的辅助序列的积分极限与极限函数积分联系起来。Fatou 本身不要求 $f_n$ 单调，也不要求积分有限。

常见错误

把 $\liminf f_n$ 错写成某个固定 $f_n$，或把 $g_n$ 定义成 $\sup_{k\ge n}f_k$ 后仍声称它递增。还常见把 Fatou 的不等式方向写反，或者在允许 $+\infty$ 的定理中擅自做未定义的无穷量相减。

所用定义或定理

控制收敛定理的假设是几乎处处收敛和一个与 $n$ 无关的可积支配函数。这里按要求把 Fatou 引理（见 L02-E05）应用到非负函数 $g+f_n$、$g-f_n$。由于 $g\in L^1$，这些函数的积分都是有限的。

关键推导

取一个同时满足 $f_n\to f$ 且 $|f_n|\le g$ 的满测集。在该集合上取极限得到 $|f|\le g$，故 $f\in L^1$，并且 $g\pm f$ 都是非负可积函数。

对 $g+f_n\ge0$ 使用 Fatou：
$$ \int(g+f)\,d\mu \le\liminf_{n\to\infty}\int(g+f_n)\,d\mu =\int g\,d\mu+\liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu. $$
两边减去有限数 $\int g$，得到
$$ \int f\,d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu. $$

再对 $g-f_n\ge0$ 使用 Fatou：
$$ \int(g-f)\,d\mu \le\liminf_{n\to\infty}\int(g-f_n)\,d\mu =\int g\,d\mu-\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu. $$
这里最后的等式使用每个 $\int f_n$ 都是有限实数，并用恒等式 $\liminf(c-a_n)=c-\limsup a_n$。再次减去 $\int g$ 并整理，得到
$$ \limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu\le\int f\,d\mu. $$
合并上下界，
$$ \int f\,d\mu \le\liminf_n\int f_n\,d\mu \le\limsup_n\int f_n\,d\mu \le\int f\,d\mu, $$
因而上下极限相同，结论成立。

假设用途

$|f_n|\le g$ 保证每个 $f_n$ 可积，也通过取几乎处处极限保证 $f$ 被同一个 $g$ 支配；这一步让 $\int g$ 有限，从而可以安全地移项。几乎处处收敛用于 Fatou 的极限识别。没有支配函数时，积分极限可能失败。

常见错误

只对 $f_n$ 使用 Fatou；Fatou 只处理非负函数，不能直接对有符号的 $f_n$ 得到双向界。还容易把 $g+f_n$ 或 $g-f_n$ 的非负性漏掉，或者在尚未证明 $f\in L^1$ 时就写 $\int f$ 为有限数。

所用定义或定理

依概率收敛要求 $\mathbb P(|X_n-X|>\varepsilon)\to0$；几乎必然收敛要求几乎每条样本路径都有点态极限。依概率收敛推出依分布收敛，但反向和依概率到几乎必然的反向一般都不成立。这里的蕴含关系可与 [Tao, §1.1.5，印刷页 31–35，PDF 页 42–46] 对照。

关键推导

固定 $0<\varepsilon<1$。当 $n=2^k+j$ 时，$X_n$ 是一个指标函数，因此
$$ \mathbb P(|X_n-X|>\varepsilon)=\lambda(I_{k,j})=2^{-k}. $$
随着 $n\to\infty$，对应的层级 $k\to\infty$，所以 $2^{-k}\to0$；当 $\varepsilon\ge1$ 时事件为空。故 $X_n\rightarrow\ \text{(ℙ)}0$，进而 $X_n\rightarrow\ \text{(d)}0$。

另一方面，固定任意 $x\in[0,1)$。在每一个层级 $k$，二进区间族 $(I_{k,j})_{j=0}^{2^k-1}$ 构成 $[0,1)$ 的不交划分，因此恰有一个 $j_k$ 使 $x\in I_{k,j_k}$。对应的指标 $n_k=2^k+j_k$ 使 $X_{n_k}(x)=1$。因为 $k$ 可以任意大，这给出无穷多个取值为 1 的项。

对每个 $k\ge1$，层级中至少有一个区间不包含给定的 $x$（事实上有 $2^k-1$ 个），这些区间对应的指标给出 $X_n(x)=0$，并且这样的层级也有无穷多个。因此同一条路径上 1 和 0 都无穷次出现，极限不存在。这个结论对每个 $x$ 都成立，所以不只是“不是几乎处处收敛”，而是处处不收敛。

该序列说明依概率收敛不能反推出几乎必然收敛。它不违反 L02-E04，因为 L02-E04 使用的是相反方向：假设几乎必然收敛，再推出依概率收敛。

假设用途

区间长度 $2^{-k}$ 给出概率趋于 0；二进区间在每个层级的划分性质制造了每条路径上的反复振荡。构造不需要随机变量独立，概率空间只使用 Lebesgue 测度。

常见错误

只检查每层区间长度趋于 0，就把它误判为几乎处处收敛；这忽略了样本点在不同层级不断进入新的小区间。另一个错误是把“每个 $x$ 每层进入一次”误解成最终只进入有限次，实际上层级数是无穷的。

所用定义或定理

ESD 的积分恒等式是谱分解的逐特征值写法：对任意可测 $f$，$\int f\,d\mu_n=n^{-1}\sum_i f(\lambda_i)=n^{-1}\operatorname{tr}f(W_n)$。DCT 需要几乎处处收敛和一个统一的 $L^1$ 支配函数；依概率收敛本身不提供这种支配。随机测度的弱收敛要求对一类足够丰富的有界连续测试函数同时成立，而不是只对一个 $f$ 成立。

关键推导

由谱分解和 $|f(x)|\le\|f\|_\infty$，逐个样本有
$$ |Y_n|\le\|f\|_\infty, \qquad |m_f|\le\|f\|_\infty. $$
因此 $|Y_n|$ 被可积常数 $\|f\|_\infty$ 支配。假设 $Y_n\to m_f$ 几乎处处，DCT 直接给出
$$ \mathbb E Y_n\longrightarrow \mathbb E[m_f]=m_f. $$
也可对 $|Y_n-m_f|$ 使用 DCT，得到 $\mathbb E|Y_n-m_f|\to0$。

若只知道依概率收敛，令 $M=2\|f\|_\infty$。对任意 $\eta>0$，有
$$ \mathbb E|Y_n-m_f| \le \eta+M\,\mathbb P(|Y_n-m_f|>\eta). $$
这是把期望按事件 $\{|Y_n-m_f|\le\eta\}$ 与其补集分解得到的：前一部分不超过 $\eta$，后一部分利用 $|Y_n-m_f|\le M$。先令 $n\to\infty$，再令 $\eta\downarrow0$，得到 $L^1$ 收敛。这个论证使用统一有界性和依概率收敛，不是把 DCT 误用在没有几乎处处收敛的情形。

对 $f(x)=x^2$，$Y_n=n^{-1}\operatorname{tr}(W_n^2)$ 通常不是逐样本由一个与 $n$ 无关的常数支配；谱范数或二阶矩可能随 $n$ 波动。即使 $Y_n\to m_f$ 几乎处处，也需要额外证明一族 $\{Y_n\}$ 的统一可积性，例如找到 $p>1$ 使
$$ \sup_n\mathbb E|Y_n|^p<\infty, $$
或建立适用的高概率谱范数界与尾部积分估计，才能保证 $\mathbb E Y_n\to m_f$。标量反例 $Z_n=n\mathbf1_{(0,1/n)}$ 的点态极限为 0，但积分恒为 1，说明缺少统一可积性时不能交换极限和积分。

对弱收敛而言，固定一个测试函数只给出一个标量极限；要断言 $\mu_n\Rightarrow\mu_{\mathrm{sc}}$，需要对所有有界连续函数（或一个已证明为收敛决定类的函数族）给出相应收敛，并在必要时控制紧性。有限维实验只能观察若干 $n$ 和若干测试函数的近似，不能证明几乎处处的渐近定理，也不能自动提供统一可积性。

实验设置与解释

下面的代码使用实对称 Gaussian Wigner 矩阵作为 Hermitian 特例；归一化 $W=(A+A^\mathsf T)/\sqrt{2n}$ 使非对角元方差为 $1/n$。固定 seed，对 $n\in\{50,100,200,500\}$ 各重复 100 次，记录有界测试函数 $Y_n^{(b)}=n^{-1}\operatorname{tr}e^{-W_n^2}$ 和无界测试函数 $Y_n^{(2)}=n^{-1}\operatorname{tr}W_n^2$ 的样本均值和标准差。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(20260905)
dimensions = (50, 100, 200, 500)
repetitions = 100

for n in dimensions:
    bounded_values = []
    quadratic_values = []
    for _ in range(repetitions):
        a = rng.normal(size=(n, n))
        w = (a + a.T) / np.sqrt(2.0 * n)
        eigenvalues = np.linalg.eigvalsh(w)
        bounded_values.append(np.mean(np.exp(-(eigenvalues ** 2))))
        quadratic_values.append(np.mean(eigenvalues ** 2))
    print(
        n,
        np.mean(bounded_values), np.std(bounded_values),
        np.mean(quadratic_values), np.std(quadratic_values),
    )

同一代码已保存为 labs/L02-convergence-integral-limits.py，并用工作区 bundled Python 实际运行。seed=20260905、每个维度重复 100 次时得到：

运行后应比较随 $n$ 增大的波动尺度，而不是把某一次输出当作极限定理的证明。对于有界统计量，数值稳定性与 DCT 的理论条件相呼应；对于二次统计量，还要结合矩估计才能把有限维观察升级为期望极限的证明。

假设用途

Hermitian 性保证特征值为实数并允许用谱分解写迹；$1/\sqrt n$ 是全局谱尺度；有界连续性控制 $Y_n$ 的绝对值并提供常数支配。对于 $x^2$，需要额外的尾部或矩条件，不能用“Wigner”这个名称代替具体估计。弱收敛的断言还需要测试函数族，而非单一函数。

常见错误

把有限维的样本均值图表当作几乎必然收敛的证明；把 $f(x)=x^2$ 当作有界函数；把一个 $f$ 的迹极限误写成 ESD 已经弱收敛；或者把依概率收敛下的期望估计错误标成 DCT。另一个常见错误是忘记矩阵归一化，导致 $n^{-1}\operatorname{tr}H_n^2$ 的尺度与理论对象不一致。