---
lesson: L02
module: 1
status: active
updated: 2026-09-05
aliases:
  - "L02 收敛模式与积分极限"
  - "B2 收敛模式与积分极限"
tags:
  - 随机矩阵
  - 课程讲义
  - 基础桥接
  - 概率
sources:
  - tao: "§1.1"
  - tao: "§1.2"
  - mehta: "Ch. 1"
cssclasses:
  - rmt-lecture
---

# L02：收敛模式与积分极限

> 课程地图：[course-map](../course-map.md)
>
> 学习进度：[progress](../progress.md)
>
> 术语表：[glossary](../glossary.md)

## 1. 课程定位

- **层次：** 核心层，模块 1，基础桥接单元 B2。
- **核心问题：** 随机变量或可测函数以哪一种方式收敛？在什么额外假设下，极限可以移入期望或积分？
- **前后关系：** 上一课 B1 已建立概率空间、指示函数、期望、可数次可加性和 Markov 不等式；下一课 B3 将把这些语言用于 Chebyshev、Borel–Cantelli 和大数定律。
- **随机矩阵入口：** 经验谱分布的弱收敛只允许测试有界连续函数；迹矩中的 $x^k$ 通常无界，必须另外检查尾部或统一可积性。解算子测试函数在非实谱参数处有界，是另一条重要接口。
- **本课可检验目标：**
  1. 精确定义几乎必然收敛（almost sure convergence）、依概率收敛（convergence in probability）、依分布收敛（convergence in distribution）和 $L^p$ 收敛；
  2. 完整证明 $X_n\to X$ 几乎必然蕴含 $X_n\to X$ 依概率，并说明 Tao 习题提示中的 Fatou 作用；
  3. 陈述并使用 Fatou 引理（Fatou's lemma）、单调收敛定理（monotone convergence theorem, MCT）和控制收敛定理（dominated convergence theorem, DCT），逐条指出假设用途；
  4. 解释 $L^p$ 收敛、依概率收敛和依分布收敛之间哪些蕴含成立，哪些反向命题需要额外条件；
  5. 在经验谱分布语境中区分有界连续测试函数与无界矩函数，不能把弱收敛直接当作矩收敛。

**资料边界。** Tao 的 §1.1.5 给出收敛模式的定义和蕴含关系习题；§1.2 在 Stirling 公式中实际使用点态收敛与 DCT。Tao 没有在这些页面系统证明三大积分极限定理，因此本讲义把精确定理和证明明确标为导师补全。Mehta 第二版没有系统覆盖概率收敛模式或测度论积分极限；其索引中的 “Convergence” 指的是数值、核、级数或渐近分析中的收敛，不能当作 B2 的教材来源。

## 2. 前置知识检查

> [!question] 前置问题 1 · L02-DIAG01
> 设 $X_n\to X$ 几乎必然。固定 $\varepsilon>0$，请写出推出 $X_n\to X$ 依概率时要控制的事件，以及它与“无穷多次发生”事件之间的关系。

本轮诊断回答为“不会”。因此先补齐事件论证，再进入正式定理；不把记忆中的蕴含链当作证明。

**最小补充。** 令

$$
E_n:=\{|X_n-X|>\varepsilon\},\qquad
A_N:=\bigcup_{n\ge N}E_n.
$$

几乎必然收敛意味着对几乎所有 $\omega$，$E_n$ 只会发生有限次，所以

$$
\mathbb P\!\left(\limsup_{n\to\infty}E_n\right)
=\mathbb P\!\left(\bigcap_{N=1}^{\infty}A_N\right)=0.
$$

因为 $A_N\downarrow\bigcap_NA_N$，且 $\mathbb P(A_1)\le1$，概率测度的从上连续性给出 $\mathbb P(A_N)\to0$。当 $n\ge N$ 时 $E_n\subseteq A_N$，于是

$$
0\le\mathbb P(E_n)\le\mathbb P(A_N).
$$

先固定足够大的 $N$，再让 $n\to\infty$，即可得到 $\mathbb P(|X_n-X|>\varepsilon)\to0$。这正是依概率收敛的定义。完整展开见 §5.2。

## 3. 直觉与最小例子

### 3.1 三种收敛比较的是不同对象

几乎必然收敛和依概率收敛都要求 $X_n$ 与 $X$ 定义在同一个概率空间上，并比较它们在同一个 $\omega$ 下的距离。依分布收敛只比较分布 $\mu_{X_n}$ 与 $\mu_X$，不关心随机变量在样本空间中的逐点配对关系。

在 $[0,1]$ 上取 Lebesgue 概率，令

$$
X_n(x)=\mathbf 1_{(0,1/n]}(x),\qquad X(x)=0.
$$

对每个 $x>0$，当 $n>1/x$ 后 $X_n(x)=0$，而 $x=0$ 是零测集，因此 $X_n\to X$ 几乎处处。又因为

$$
\mathbb P(|X_n-X|>\varepsilon)
=\frac1n\quad(0<\varepsilon<1),
$$

所以也依概率收敛，进而依分布收敛。这个例子只说明一个蕴含方向，不能说明反向命题。

### 3.2 依概率不保证几乎必然

在 $[0,1]$ 上把二进区间按层枚举。对 $k\ge0$、$0\le j<2^k$，令

$$
I_{k,j}=[j2^{-k},(j+1)2^{-k}),\qquad
X_{2^k+j}(x)=\mathbf 1_{I_{k,j}}(x).
$$

第 $k$ 层中每个变量取 1 的概率为 $2^{-k}$，而 $n\to\infty$ 时所在层 $k\to\infty$，故 $X_n\to0$ 依概率。另一方面，对几乎每个 $x\in[0,1)$，每一层恰有一个区间包含 $x$，因此 $X_n(x)=1$ 无穷多次，同时也有无穷多次取 0；序列几乎处处不收敛。这是“打字机序列（typewriter sequence）”的具体版本。

### 3.3 依分布不控制期望

令 $A_n$ 是概率为 $1/n$ 的事件，并令

$$
X_n=n\mathbf 1_{A_n}.
$$

对任意 $\varepsilon>0$，当 $n>\varepsilon$ 时

$$
\mathbb P(|X_n|>\varepsilon)=\frac1n\longrightarrow0,
$$

所以 $X_n\to0$ 依概率、也依分布；但

$$
\mathbb E[X_n]=n\mathbb P(A_n)=1
\not\longrightarrow0=\mathbb E[0].
$$

缺失的条件是尾部控制，例如统一可积性（uniform integrability）或一个共同的可积支配函数。

### 3.4 点态极限不能自动移入积分

在 $[0,1]$ 上令

$$
f_n(x)=n\mathbf 1_{(0,1/n]}(x).
$$

有 $f_n(x)\to0$ 几乎处处，但

$$
\int_0^1 f_n(x)\,dx=1
\quad\text{而}\quad
\int_0^1 0\,dx=0.
$$

这里不存在统一的 $L^1$ 支配函数；这正是控制收敛定理不能被省略的原因。

## 4. 模型、定义与规范化

本课不是矩阵模型课，因此不引入 $N\times N$ 维度、独立矩阵元或 $1/\sqrt N$ 缩放。基础对象是概率空间

$$
(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)
$$

上的随机变量，及一般测度空间 $(S,\Sigma,\mu)$ 上的可测函数。后续若 $A_N$ 是 Hermitian 矩阵，则把

$$
\mu_{A_N}:=\frac1N\sum_{j=1}^{N}\delta_{\lambda_j(A_N)}
$$

看成概率测度，再使用本课的测试函数语言。

### 4.1 收敛模式

设 $X_n,X$ 取值于实数，或更一般地取值于带距离 $d$ 的 $\sigma$-紧度量空间。

| 收敛模式 | 定义 | 记号 |
|---|---|---|
| 几乎必然收敛（almost sure） | $\mathbb P(\{\omega:X_n(\omega)\to X(\omega)\})=1$ | $X_n\stackrel{\mathrm{a.s.}}{\rightarrow}X$ |
| 依概率收敛（in probability） | 对每个 $\varepsilon>0$，$\mathbb P(d(X_n,X)>\varepsilon)\to0$ | $X_n\stackrel{\mathbb P}{\rightarrow}X$ |
| 依分布收敛（in distribution） | 对每个有界连续 $F$，$\mathbb E F(X_n)\to\mathbb E F(X)$ | $X_n\stackrel{\mathrm d}{\rightarrow}X$ |
| $L^p$ 收敛（$1\le p<\infty$） | $\mathbb E|X_n-X|^p\to0$ | $X_n\stackrel{L^p}{\rightarrow}X$ |

依分布收敛只涉及分布，不要求所有 $X_n$ 与 $X$ 在同一概率空间上。Tao 在 $\sigma$-紧度量空间中采用上述有界连续测试函数表述。[Tao, §1.1.5，印刷页 31–35，PDF 页 42–46，定义 1.1.29]

表中的 $L^p$ 收敛及其由 Markov 不等式推出依概率收敛，是本课程为后续估计补充的模式；Tao 的“Definition 1.1.29”只列出几乎必然、依概率、依分布和紧性，并未把 $L^p$ 作为独立的第五种模式。

### 4.2 事件的上极限

对事件序列 $(E_n)$，定义

$$
\limsup_{n\to\infty}E_n
:=\bigcap_{N=1}^{\infty}\bigcup_{n\ge N}E_n.
$$

它表示“$E_n$ 无穷多次发生”。若 $\mathbb P(\limsup E_n)=0$，则 $E_n$ 只发生有限次，称为几乎必然最终不发生。

### 4.3 三个积分极限定理的适用范围

在 $(S,\Sigma,\mu)$ 上，以下函数均假设可测。

- **Fatou 引理：** $f_n\ge0$ 时，允许积分取 $+\infty$，结论是

  $$
  \int_S\liminf_{n\to\infty}f_n\,d\mu
  \le
  \liminf_{n\to\infty}\int_S f_n\,d\mu.
  $$

- **单调收敛定理（MCT）：** $0\le f_n\uparrow f$ 几乎处处时，

  $$
  \int_S f_n\,d\mu\uparrow\int_S f\,d\mu.
  $$

- **控制收敛定理（DCT）：** $f_n\to f$ 几乎处处，且存在 $g\in L^1(\mu)$ 使 $|f_n|\le g$ 几乎处处，则 $f\in L^1(\mu)$，并且

  $$
  \int_S|f_n-f|\,d\mu\longrightarrow0,
  \qquad
  \int_S f_n\,d\mu\longrightarrow\int_S f\,d\mu.
  $$

MCT 需要非负性与单调性，不需要共同支配函数；Fatou 只给下极限不等式；DCT 用可积支配函数换取 $L^1$ 收敛和积分极限。

## 5. 定理与证明

### 5.1 对象与证明材料

#### 定义 L02.1 · L02-D01

**定义内容：** 本课中的收敛模式均以同一套距离或绝对值为误差量。几乎必然收敛控制每个样本点的最终行为；依概率收敛只控制坏事件概率；依分布收敛只控制有界连续测试函数的期望；$L^p$ 收敛控制误差的 $p$ 次矩。

> [!info] 规范化核对
> 本课的随机对象是标量随机变量；概率空间固定为 $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$，积分对象固定为 $(S,\Sigma,\mu)$ 上的可测函数。没有矩阵维度、矩条件或谱尺度，不能把本课的收敛符号误读为 $N\to\infty$ 的矩阵结论。

#### 定义 L02.2 · L02-D02

**定义内容：** $\limsup E_n$ 是事件的无穷多次发生事件；在证明收敛时，常把“最终成立”改写成尾事件 $A_N=\bigcup_{n\ge N}E_n$，再使用概率测度的连续性。

#### 引理 L02.1 · L02-L01

**引理陈述：** 若 $X_n\stackrel{\mathrm{a.s.}}{\rightarrow}X$，则 $X_n\stackrel{\mathbb P}{\rightarrow}X$。

> [!abstract] 证明路线
> 固定 $\varepsilon$，把误差事件记为 $E_n$。几乎必然收敛给出 $\mathbb P(\limsup E_n)=0$；尾事件 $A_N=\bigcup_{n\ge N}E_n$ 递减到该上极限；从上连续性和 $E_n\subseteq A_N$ 给出坏事件概率趋于 0。Tao 将这一步列为 Exercise 1.1.25(i)，提示使用 Fatou；下面给出不依赖 Fatou 的事件连续性证明。

#### 定理 L02.1 · L02-T01

**定理陈述：** 在概率空间 $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ 上，若 $X_n\to X$ 几乎必然，则对每个 $\varepsilon>0$，

$$
\mathbb P(|X_n-X|>\varepsilon)\longrightarrow0.
$$

> [!info] 教材原结论
> Tao 的结论以练习形式出现，而非正文定理：[Tao, §1.1.5，印刷页 32–33，PDF 页 43–44，Exercise 1.1.25(i)]。

> [!abstract] 导师补全
> 固定 $\varepsilon>0$，设 $E_n=\{|X_n-X|>\varepsilon\}$，并令 $A_N=\bigcup_{n\ge N}E_n$。若 $\omega$ 属于 $X_n(\omega)\to X(\omega)$ 的满概率集合，则存在 $N(\omega)$，使得 $n\ge N(\omega)$ 时 $|X_n(\omega)-X(\omega)|\le\varepsilon$。因此 $\omega\notin\limsup E_n$，从而
>
> $$
> \mathbb P\!\left(\bigcap_{N=1}^{\infty}A_N\right)
> =\mathbb P(\limsup E_n)=0.
> $$
>
> $A_N\downarrow\bigcap_NA_N$，且 $\mathbb P(A_1)\le1$，所以概率从上连续：
>
> $$
> \mathbb P(A_N)\downarrow0.
> $$
>
> 对任意 $n\ge N$，有 $E_n\subseteq A_N$，于是
>
> $$
> 0\le\mathbb P(E_n)\le\mathbb P(A_N).
> $$
>
> 给定 $\delta>0$，取 $N$ 使 $\mathbb P(A_N)<\delta$，再令 $n\ge N$，得到 $\mathbb P(E_n)<\delta$。这正是 $\mathbb P(|X_n-X|>\varepsilon)\to0$。

<p class="qed">□</p>

#### 引理 L02.2 · L02-L02

**引理陈述：** 若 $X_n\stackrel{\mathbb P}{\rightarrow}X$，且 $F$ 是有界连续函数，则

$$
\mathbb E F(X_n)\longrightarrow\mathbb E F(X).
$$

> [!abstract] 证明路线
> 从任意子序列抽取一个满足 $\sum_j\mathbb P(|X_{n_j}-X|>2^{-j})<\infty$ 的子子序列，用第一 Borel–Cantelli 引理得到几乎必然收敛；再对有界的 $F(X_{n_j})$ 使用 DCT。若原序列的期望不收敛，则可选出始终偏离极限的子序列，与上述子子序列结论矛盾。

#### 定理 L02.2 · L02-T02

**定理陈述：** 若 $X_n\stackrel{\mathbb P}{\rightarrow}X$ 为实值随机变量，则 $X_n\stackrel{\mathrm d}{\rightarrow}X$。

> [!info] 教材原结论
> Tao 将该蕴含列为 Exercise 1.1.25(iii)，并提示先证明紧性、再在紧集上使用一致连续性。[Tao, §1.1.5，印刷页 32–33，PDF 页 43–44]。下面给出采用子序列和 DCT 的替代证明。

> [!abstract] 导师补全
> 先证一个子序列事实。给定任意子序列 $(X_{n_k})$，因为 $X_n\to X$ 依概率，可递归选择 $k_j$ 使
>
> $$
> \mathbb P\bigl(|X_{n_{k_j}}-X|>2^{-j}\bigr)\le2^{-j}.
> $$
>
> 令 $B_j=\{|X_{n_{k_j}}-X|>2^{-j}\}$。由
>
> $$
> \sum_{j=1}^{\infty}\mathbb P(B_j)\le\sum_{j=1}^{\infty}2^{-j}<\infty
> $$
>
> 由可数次可加性，任意 $m$ 都有
>
> $$
> \mathbb P\!\left(\bigcup_{j\ge m}B_j\right)
> \le\sum_{j\ge m}\mathbb P(B_j)\longrightarrow0.
> $$
>
> 因而 $\mathbb P(\limsup B_j)=0$，这就是第一 Borel–Cantelli 引理在此处的证明。于是 $X_{n_{k_j}}\to X$ 几乎必然。连续性给出 $F(X_{n_{k_j}})\to F(X)$ 几乎必然；若 $|F|\le M$，则
>
> $$
> |F(X_{n_{k_j}})-F(X)|\le2M,
> $$
>
> 由 DCT，
>
> $$
> \mathbb E F(X_{n_{k_j}})
> \longrightarrow\mathbb E F(X).
> $$
>
> 若原序列 $\mathbb E F(X_n)$ 不趋于 $\mathbb E F(X)$，则存在 $\eta>0$ 和子序列 $(n_k)$，使
>
> $$
> \left|\mathbb E F(X_{n_k})-\mathbb E F(X)\right|\ge\eta
> \quad\text{对所有 }k.
> $$
>
> 但这个子序列仍能抽出上面的子子序列，其期望又必须趋于 $\mathbb E F(X)$，矛盾。因此对每个 $F\in C_b(\mathbb R)$，期望均收敛，故 $X_n\stackrel{\mathrm d}{\rightarrow}X$。

<p class="qed">□</p>

#### 定理 L02.3 · L02-T03

**定理陈述（单调收敛定理）：** 若 $f_n:S\to[0,\infty]$ 可测，且 $f_n\uparrow f$ 几乎处处，则

$$
\int_S f_n\,d\mu\uparrow\int_S f\,d\mu.
$$

> [!info] 教材原结论
> Tao 在本课直接相关的 §1.1 页面没有给出 MCT 的独立陈述；后文应用中会引用它。因此这里是测度论桥接补全，而不是 Tao §1.1 的原定理。

> [!abstract] 导师补全
> 单调性先给出 $\int f_n\,d\mu\le\int f\,d\mu$，所以只需证明反向不等式。设 $\phi$ 是非负简单函数且 $\phi\le f$，取 $0<c<1$，令
>
> $$
> B_n:=\{f_n\ge c\phi\}.
> $$
>
> 因为 $f_n$ 递增，$B_n$ 递增；当 $\phi(x)>0$ 时，由 $f_n(x)\uparrow f(x)\ge\phi(x)>c\phi(x)$，存在某个 $n$ 使 $x\in B_n$；当 $\phi(x)=0$ 时，非负性保证 $x\in B_n$。因此 $B_n\uparrow S$，从而 $\phi\mathbf1_{B_n}\uparrow\phi$。又有 $c\phi\mathbf1_{B_n}\le f_n$，故
>
> $$
> \int f_n\,d\mu\ge c\int\phi\mathbf1_{B_n}\,d\mu.
> $$
>
> $\phi$ 只有有限个取值，结合测度的从下连续性，右端随 $n$ 增大到 $c\int\phi\,d\mu$。于是
>
> $$
> \lim_n\int f_n\,d\mu\ge c\int\phi\,d\mu.
> $$
>
> 对所有非负简单 $\phi\le f$ 取上确界，利用 Lebesgue 积分的定义得到
>
> $$
> \lim_n\int f_n\,d\mu\ge c\int f\,d\mu.
> $$
>
> 令 $c\uparrow1$。若 $\int f<\infty$，得到反向不等式；若 $\int f=\infty$，先选取积分任意大的简单函数，得到左侧也为 $+\infty$。两边相等。

<p class="qed">□</p>

#### 定理 L02.4 · L02-T04

**定理陈述（Fatou 引理）：** 若 $f_n\ge0$ 可测，则

$$
\int_S\liminf_{n\to\infty}f_n\,d\mu
\le
\liminf_{n\to\infty}\int_S f_n\,d\mu.
$$

> [!info] 教材原结论
> Tao 在 Exercise 1.1.25(i) 只提示使用 Fatou 引理，没有在该处陈述引理本身。[Tao, §1.1.5，印刷页 32，PDF 页 43]。

> [!abstract] 导师补全
> 定义
>
> $$
> g_m:=\inf_{n\ge m}f_n.
> $$
>
> 则 $g_m$ 可测、$g_m\uparrow\liminf_nf_n$，并且对所有 $n\ge m$，$g_m\le f_n$。由 MCT，
>
> $$
> \int\liminf_nf_n\,d\mu
> =\lim_m\int g_m\,d\mu.
> $$
>
> 另一方面，
>
> $$
> \int g_m\,d\mu
> \le\inf_{n\ge m}\int f_n\,d\mu.
> $$
>
> 对 $m\to\infty$ 取极限，得到
>
> $$
> \int\liminf_nf_n\,d\mu
> \le\lim_m\inf_{n\ge m}\int f_n\,d\mu
> =\liminf_n\int f_n\,d\mu.
> $$

<p class="qed">□</p>

#### 定理 L02.5 · L02-T05

**定理陈述（控制收敛定理）：** 设 $f_n,f$ 为实值或复值可测函数。若 $f_n\to f$ 几乎处处，且存在 $g\in L^1(\mu)$ 满足 $|f_n|\le g$ 几乎处处，则 $f\in L^1(\mu)$，并且

$$
\int_S|f_n-f|\,d\mu\to0.
$$

特别地，

$$
\int_S f_n\,d\mu\to\int_S f\,d\mu.
$$

> [!info] 教材原结论
> Tao 在 §1.1 中引用 DCT 处理尾部和矩展开，在 §1.2 的 Stirling 公式中用点态收敛加可积支配函数交换极限与积分；没有在这些页面给出完整定理证明。[Tao, §1.1，印刷页 16、18，PDF 页 27、29；Tao, §1.2，印刷页 37–38，PDF 页 48–49，式 (1.49)–(1.50)]

> [!abstract] 导师补全
> 由 $f_n\to f$ 几乎处处和 $|f_n|\le g$，取极限得 $|f|\le g$ 几乎处处，因此 $f\in L^1$。令 $h_n=|f_n-f|$，则 $h_n\to0$ 几乎处处，且 $0\le h_n\le2g$。函数 $2g-h_n$ 非负，且
>
> $$
> 2g-h_n\longrightarrow2g
> \quad\text{几乎处处}.
> $$
>
> 对 $2g-h_n$ 使用 Fatou 引理：
>
> $$
> 2\int g
> \le
> \liminf_n\int(2g-h_n)
> =
> 2\int g-\limsup_n\int h_n.
> $$
>
> 因为 $\int g<\infty$，上式迫使 $\limsup_n\int h_n\le0$。而 $\int h_n\ge0$，故 $\int|f_n-f|\,d\mu\to0$。最后由
>
> $$
> \left|\int f_n\,d\mu-\int f\,d\mu\right|
> \le\int|f_n-f|\,d\mu
> $$
>
> 得到积分收敛。

<p class="qed">□</p>

### 5.2 关系链与假设用途

在概率测度上，常用关系是

$$
X_n\stackrel{L^p}{\rightarrow}X
\Longrightarrow
X_n\stackrel{\mathbb P}{\rightarrow}X
\Longrightarrow
X_n\stackrel{\mathrm d}{\rightarrow}X,
\qquad
X_n\stackrel{\mathrm{a.s.}}{\rightarrow}X
\Longrightarrow
X_n\stackrel{\mathbb P}{\rightarrow}X.
$$

第一条由 Markov 不等式给出：对 $p\ge1$，

$$
\mathbb P(|X_n-X|>\varepsilon)
\le
\frac{\mathbb E|X_n-X|^p}{\varepsilon^p}.
$$

第二条是定理 L02-T02。第三条是定理 L02-T01。反向命题一般失败：

- 依概率不推出几乎必然：见打字机序列；
- 依分布不推出依概率：取同一概率空间上的独立同分布 Rademacher 变量 $X_n,X$，则分布完全相同但 $\mathbb P(|X_n-X|=2)=1/2$；
- 依分布不推出期望收敛：见 §3.3；
- 几乎处处收敛不推出 $L^1$ 收敛：见尖峰函数 $f_n=n\mathbf1_{(0,1/n]}$。

Tao 的 Exercise 1.1.25 还讨论紧性、vague topology、子序列几乎必然收敛和确定极限时的特殊等价；这些结果超出本课的最小证明范围，但页码已核实。[Tao, §1.1.5，印刷页 32–34，PDF 页 43–45]

### 5.3 例子与边界

#### 例 L02.1 · L02-X01

**例题：** 对尖峰函数 $f_n=n\mathbf1_{(0,1/n]}$，分别判断点态几乎处处收敛、$L^1$ 收敛和积分收敛。

> [!info] 直觉
> $f_n\to0$ 几乎处处，但 $\|f_n\|_1=1$。因此点态信息只描述每个固定位置最终看到的数值，不能排除质量集中到越来越窄的区域。DCT 失败的具体原因是不存在共同的 $L^1$ 支配函数。

**结论：** $f_n\to0$ 几乎处处；不在 $L^1$ 中收敛；$\int f_n=1$ 不趋于 $\int0=0$。

## 6. 与随机矩阵主线的连接

设 $A_N$ 是 $N\times N$ Hermitian 矩阵，特征值为 $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$，经验谱分布为

$$
\mu_{A_N}=\frac1N\sum_{j=1}^N\delta_{\lambda_j}.
$$

对测试函数 $f$，有

$$
\int f(x)\,d\mu_{A_N}(x)
=\frac1N\operatorname{tr}f(A_N).
$$

这条恒等式把概率测度收敛直接连到随机矩阵的归一化迹。

1. **弱收敛使用有界连续测试函数。** 若 $\mu_{A_N}\Rightarrow\mu$ 是确定性弱收敛，或随机情形中已明确指定为几乎处处／依概率的弱收敛，则对每个 $f\in C_b(\mathbb R)$，相应地有

   $$
   \int f\,d\mu_{A_N}\to\int f\,d\mu.
   $$

   随机测度的“依分布收敛”是另一种对象层面的陈述，不能用单个测试函数的期望收敛替代。类似地，仅有
   $\mathbb E\int f\,d\mu_{A_N}\to\int f\,d\mu$ 只说明平均测试量收敛，不等于 ESD 本身弱收敛。

2. **矩函数通常无界。** $f(x)=x^k$ 在 $\mathbb R$ 上无界，所以不能只凭 ESD 的弱收敛推出

   $$
   \frac1N\operatorname{tr}(A_N^k)
   \to\int x^k\,d\mu(x).
   $$

   还需要统一可积性、统一矩界、截断加尾部估计，或直接使用 moment method。

3. **Resolvent 是有界测试函数。** 若 $\operatorname{Im}z\ne0$，则

   $$
   f_z(x)=\frac1{x-z},
   \qquad
   |f_z(x)|\le\frac1{|\operatorname{Im}z|}.
   $$

   Tao 的弱收敛测试函数先按实值 $C_b$ 表述；这里的复值 $f_z$ 可拆成实部和虚部，分别应用实值测试函数结论，因此没有跳过复值收敛步骤。

   因而弱收敛可以直接传递给 Stieltjes 变换

   $$
   s_{\mu_{A_N}}(z)
   =\int\frac1{x-z}\,d\mu_{A_N}(x)
   =\frac1N\operatorname{tr}(A_N-zI)^{-1}.
   $$

本课没有证明半圆律，也没有引入 Wigner 矩阵的独立性、方差和谱尺度；这里只建立以后判断“哪个极限可以交换”的逻辑接口。

## 7. 双教材对照

| 项目 | Tao | Mehta |
|---|---|---|
| 章节与页码 | §1.1.5，印刷页 31–35，PDF 页 42–46；期望与 DCT 引用见 §1.1 印刷页 13–18、PDF 页 24–29；Stirling 中的 DCT 应用见 §1.2 印刷页 37–38、PDF 页 48–49 | Ch. 1，印刷页 1–35，PDF 页 9–43；本次核验未发现系统的收敛模式或积分极限定理章节 |
| 归一化与符号 | 用 $\sigma$-紧度量空间、随机变量和有界连续测试函数定义收敛；本课沿用该约定 | 主要使用矩阵元素、特征值联合密度和解析渐近；没有可与本课直接转换的收敛模式归一化 |
| 证明切入 | 概率／测度路线：收敛模式、紧性、Fatou 提示、DCT 应用 | 经典系综和解析路线；索引中的 “Convergence” 是核、级数、数值或渐近收敛，不是概率收敛理论 |
| 覆盖范围 | 模式定义和关系有直接教材依据；三大积分极限定理的完整证明由本课补全 | 对 B2 属于教材覆盖缺口，只作背景对照，不伪造引用 |

两书在本课没有需要转换的矩阵方差或谱尺度。真正进入 GUE、Wigner 或 ESD 时，必须另行声明矩阵归一化和收敛方式。

## 8. Python 数值实验

本课主线不依赖随机矩阵模拟：有限个网格点上的数值积分无法检验“几乎处处”“共同可积支配函数”或“统一可积性”。但为了连接后续 ESD，习题 E08 配套提供一个有限维谱统计实验，脚本路径为 labs/L02-convergence-integral-limits.py。

脚本使用 numpy.random.default_rng(20260905)，取实对称 Gaussian Wigner 特例

$$
W=\frac{A+A^{\mathsf T}}{\sqrt{2n}},
$$

比较有界测试函数 $e^{-x^2}$ 与无界测试函数 $x^2$ 的归一化迹。使用工作区 bundled Python 实际运行后的输出为：

| $n$ | 有界均值 | 有界标准差 | 二次均值 | 二次标准差 |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 50 | 0.520088705882 | 0.009863383769 | 1.021295148419 | 0.038829358004 |
| 100 | 0.522182963137 | 0.005682960868 | 1.010022723219 | 0.020783986805 |
| 200 | 0.522920369343 | 0.002532101850 | 1.005801673144 | 0.009334541122 |
| 500 | 0.523501040357 | 0.001038292817 | 1.001876232277 | 0.003738968345 |

这些数值只显示有限维波动随 $n$ 增大而减小的现象；它们不能证明几乎处处收敛、控制收敛、统一可积性或任何普适性结论。尖峰函数的反例仍应以手算证明为准。

## 9. 本课小结与下一课入口

**本课小结：** 几乎必然收敛控制样本点的最终行为，依概率收敛控制坏事件的概率，依分布收敛只控制有界连续测试函数。$L^p$ 收敛通过 Markov 不等式推出依概率收敛；几乎必然收敛也通过尾事件证明推出依概率收敛。MCT 处理非负递增列，Fatou 给出下极限不等式，DCT 用共同的 $L^1$ 支配函数保证 $L^1$ 与积分收敛。

**下一课入口：** B3「概率不等式与极限定理」。需要保留

$$
X_n\stackrel{\mathrm{a.s.}}{\rightarrow}X,\qquad
X_n\stackrel{\mathbb P}{\rightarrow}X,\qquad
X_n\stackrel{\mathrm d}{\rightarrow}X,\qquad
X_n\stackrel{L^p}{\rightarrow}X
$$

以及 $L^p\Rightarrow\mathbb P\Rightarrow\mathrm d$、$\mathrm{a.s.}\Rightarrow\mathbb P$ 和三大积分极限定理的假设清单。B3 将把 Markov／Chebyshev 与这些收敛模式连接起来。

## 10. 练习

练习与默认折叠解答见：[L02 习题与完整解答](../exercises/L02-convergence-integral-limits-exercises.md)。

## 11. 理解检查与单元状态

- [ ] 我能用 $\limsup E_n$ 和尾事件完整证明几乎必然收敛蕴含依概率收敛。
- [ ] 我能区分依概率收敛与依分布收敛，并给出至少一个反向命题失败的例子。
- [ ] 我能在 Fatou、MCT、DCT 之间选择正确的定理，并逐条指出假设在哪里使用。
- [ ] 我能解释为什么 ESD 弱收敛不能单独推出无界矩函数的收敛。
- [ ] Tao 的章节、印刷页/PDF 页与公式编号已核实；Mehta 的教材覆盖缺口已明确标注。

状态字段：status: active；待补证据：学习者完成上述退出检查；下次复习日期：完成退出检查后确定；学习者自评（0–5）：尚未填写。